A Modica-Mortola approximation for the Steiner Problem

In this note we present a way to approximate the Steiner problem by a family of elliptic energies of Modica-Mortola type, with an additional term relying on a weighted geodesic distance which takes care of the connectedness constraint. Résumé. Dans cette note nous présentons une méthode d’approximation du problème de Steiner par une famille de fonctionnelles de type Modica-Mortola, avec un terme additionnel basé sur une distance géodésique à poids, pour prendre en compte la contrainte de connexité. Titre : Une approximation à la Modica-Mortola pour le problème de Steiner. Version française abrégée Le problème bien connu dit “de Steiner” consiste à trouver un compact connexe de longueur minimal qui contient certains points du plan donnés au départ, en nombre fini. L’ensemble minimal est alors un arbre fini constitué de segments qui peuvent se joindre par nombre de 3 uniquement, formant des angles de 120̊ [6, 12]. L’un des aspects qui a rendu ce problème si célèbre réside dans sa complexité de calcul, malgré une formulation simple en apparence, faisant partie de la liste des 21 problèmes NP-complets de Karp [7] (le temps polynomial étant évalué par rapport au nombre de points). Dans cette note nous proposons une méthode qui permet de trouver des solutions approchées du Problème de Steiner. On se limite ici à présenter l’idée et les résultats mathématiques, en renvoyant à [4] pour les détails et les preuves. La stratégie repose sur l’emploi de fonctionnelles de type elliptique à la manière de ModicaMortola [9], comme l’ont fait d’autres auteurs auparavant concernant des problèmes liés au périmètre ou à la longueur d’un fermé [2, 10, 13, 11, 1, 8]. On remarque que, du fait de l’utilisation du terme de Modica-Mortola qui approche une mesure (n−1)−dimensionnelle dans R, souhaitant approcher une mesure de longueur, on est forcés de se restreindre à la dimension 2. Cela marque une différence par rapport à [11], où l’on pourrait espérer adapter la convergence au cas de la dimension supérieure ; les difficultés ne semblent pas ici seulement d’ordre techniques. La nouveauté dans notre approche est l’ajout d’un terme permettant de gérer la contrainte de connexité sur l’ensemble à minimiser. Ce nouveau terme fait intervenir la fonction distance pondérée dφ, définie en (2). Cette fonction peut être calculée numériquement sur une grille par une méthode, dite fast-marching [14], qui a été This work has been partially supported by the Agence Nationale de la Recherche, through the project ANR-12-BS01-0014-01 GEOMETRYA, and by The Gaspard Monge Program for Optimization and operations research (PGMO) via the project MACRO.